A. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ยน 0 a, b dan c adalah bilangan real.
- 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.
- a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x โ x1) (x โ x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 โ 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 โ 4 x + 3 = 0
(x โ 3) (x โ 1) = 0
x โ 3 = 0 atau x โ 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 โ 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x โ 2)2 = x โ 2.
Jawab: (x โ 2)2 = x โ 2
x2 โ 4 x + 4 = x โ 2
x2 โ 5 x + 6 = 0
(x โ 3) (x โ 2) = 0
x โ 3 = 0 atau x โ 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = โ2 atau x = โ 1
Jadi, penyelesaiannya adalah โ2 dan โ1.
- b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 โ 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 โ 6 x + 5 = 0
x2 โ 6 x + 9 โ 4 = 0
x2 โ 6 x + 9 = 4
(x โ 3)2 = 4
x โ 3 = 2 atau x โ 3 = โ2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 โ 8 x + 7 = 0.
Jawab: 2 x2 โ 8 x + 7 = 0
2 x2 โ 8 x + 8 โ 1 = 0
2 x2 โ 8 x + 8 = 1
2 (x2 โ 4 x + 4) = 1
2 (x โ 2)2 = 1
(x โ 2)2 = ยฝ
x โ 2 = atau x โ 2 = โ
x = 2 + ร2 atau x = 2 โร2
Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + ร2 dan 2 โ ร2.
- c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x โ 30 = 0.
Jawab: x2 + 7x โ 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = โ 30
x = 3 atau x = โ10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {โ10 , 3}.
Latihan 1
- Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
- Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
- Salah satu akar x2 โ mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
- Jika x = 1 memenuhi persamaan (a โ 1)x2 + (3a โ 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
- Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar
- x2 โ 3x + 2 = 0 f. โ2x2 + 8x โ 9 = 0
- 3x2 โ 9x = 0 g. โ6x2 + 10xร3 โ 9 = 0
- 6x2 โ 13x + 6 = 0 h. x2 โ 2xร3 โ 1 = 0
- 5p2 + 3p + 2 = 0 i. x2 + x โ 506 = 0
- 9x2 โ 3x + 25 = 0 j. x2 โ x + ร2 = 2
- 2x โ x(x + 3) = 0 c. (x โ 3)2 + 2(x โ 3) โ 3 = 0
- (x โ 3) (x + 2) โ 2x2 + 12 = 0 d.
berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!
2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 โ 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
- D > 0 maka รD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
- D = 0 maka รD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
- D < 0 maka รD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
- x2 + 5 x + 2 = 0
- x2 โ 10 x + 25 = 0
- 3 x2 โ 4 x + 2 = 0
Jawab :
- x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 โ 4ac = 52 โ 4 . 1 . 2 = 25 โ 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.
- x2 โ 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 โ 4ac = (-10)2 โ 4 . 1 . 25 = 100 โ 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2 โ 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.
- 3 x2 โ 4 x + 2 = 0
a = 3 , b = โ4 , c = 2
D = b2 โ 4ac = (-4)2 โ 4 . 3 . 2 = 16 โ 24 = โ 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 โ 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.
Latihan 2
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
- x2 + 6x + 6 = 0
- x2 + 2x + 1 = 0
- 2x2 + 5x + 5 = 0
- โ2x2 โ 2x โ 1 = 0
- 6t2 โ 5t + 1 = 0
- 4c2 โ 4c + 3 = 0
- Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!
- 4x2 + 8px + 1 = 0
- 4x2 โ 4px + (4p โ 3) = 0
- px2 โ 3px + (2p + 1) = 0
- Persamaan x2 โ 4px โ (p โ 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
- Buktikan bahwa persamaan x2 โ px โ (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
- Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!
3. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
- Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 + x + = 0
Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x2 โ 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
- x1 + x2 d.
- x1.x2 e. x13 + x23
- x12 + x22
Jawab: x2 โ 3 x + 4 = 0 ยฎ a = 1 , b = โ3 , c = 4
a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4
c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 โ 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 โ 2 x1 x2 = 2 (-3)2 โ 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 โ 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 โ 3 . 4 (3)
= 27 โ 36 = โ9
Latihan 3
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
- Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
- Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 โ (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
- Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 โ (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
- Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.
- x2 โ 5x + 7 = 0 d. bx2 + ax + c = 0
- 2x2 โ 7 = 0 e.
- 4x2 โ 3x = 0 f. (x โ p)2 + (x โ q)2 = p2 + q2
- p2 + q2
- (p + 2) (q + 2)
- (p โ 2q) (q โ 2p)
Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui xi2 โ x1x2 + x22 = 5.
4. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
REPORT THIS AD
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
- a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x โ x1) (x โ x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x โ x1) (x โ x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x โ x1) (x โ x2) = 0
(x โ 3) (x โ (-2)) = 0
(x โ 3) (x + 2) = 0
x2 โ 3 x + 2 x โ 6 = 0
x2 โ x โ 6 = 0.
Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !
Jawab: (x โ ) (x โ ) = 0
= 0
6 x2 โ 2 x โ 3 x + 1 = 0
6 x2 โ 5 x + 1 = 0
- b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2 = โ dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 โ (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya โ2 dan โ3.
Jawab: x1 + x2 = -2 โ 3 = โ 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 โ (โ5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.
- c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 โ 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 โ 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ยฎ x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 โ (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 โ 8x + 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 โ 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2 โ 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 โ (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 โ 3x + 2 = 0..
Latihan 4
- Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
- Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
- Akar-akar persamaan kuadrat x2 โ 4x โ 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Diketahui persamaan 2x2 โ 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- 1 dan 3
- 2 dan -4
- -1 dan -5
- โร2 dan 2ร2
- (p + q) dan (p โ q)
- (a + 1) dan (b + 1)
- (aโ 3) dan (bโ 3)
- 4a dan 4b
- โa dan โb
- (2a + 1) dan (2b + 1)
- a2 dan b2
- berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
- kebalikan akar persamaan yang diketahui.
B. Fungsi Kuadrat
- 1. Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 โ 6x โ 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x = 0 , x = โ2
Jawab:
- Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 โ 6 x โ 7 = 0
(x โ 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = โ1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan โ1
- Untuk x = 0 maka f(0) = โ7
x = โ2 maka f(โ2) = (โ2)2 โ 6 (โ2) โ 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p โ 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p โ 1)2 โ 4 . 3 . 3 = 0
p2 โ 2p โ 35 = 0
(p โ 7) (p + 5) = 0
p = 7 atau p = โ5
Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = โ5.
Periksalah jawaban itu.
- 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1) f(x) = x2 โ 2x โ 3
= x2 โ 2x + 1 โ 4
=(x โ 1)2 โ 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x โ 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x โ 1)2 โ 4mempunyai nilai terkecil 0 โ 4 = โ4.
Jadi, f(x) = x2 โ 2x โ 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) โ4 untuk x = 1.
2) f(x) = โx2 + 4x + 5
= โx2 + 4x โ 4 + 9
= โ(x2 โ 4x + 4) + 9
= โ(x โ 2)2 + 9
Nilai terbesar dari โ (x โ 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari โ (x โ 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = โ(x โ 2)2 + 9 atau f(x) = โx2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
Latihan 5
- Diketahui: f(x) = x2 โ 4x โ 6
Ditanya: a. nilai pembuat nol fungsi
b. nilai f(x) , jika x = 0
c. f(2) , f(โ1) , f(p)
- Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:
- Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 โ px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
- Nilai maksimum f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
- Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
- Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum โ2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
- f(x) = x2 + 4x + 4
- f(x) = 2x2 โ 4x + 3
- f(x) = โ3 x2 + 12x โ 8
- f(x) = โ7 + 12x โ 3x2
- f(x) = (2x + 1) (x =- 3)
- f(x) = (2x โ 1)2
- 3. Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat f : x ยฎ y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.
Gambar 7.1 Gambar 7.2
Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2
- Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
- Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
- Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
- Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:
1) Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka
a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D(diskriminan).
D > 0 ยฎ terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0).
D = 0 ยฎ terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ยฎ tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2) Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).
3) Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:
4) Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
- Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.
- Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
- Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.
Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x2 โ 2x โ 3 untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x2 โ 2x โ 3 = 0
(x โ 3) (x + 1) = 0
x = 3 dan x = โ1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(โ1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 โ 0 โ 3 = โ 3
Koordinat titik potongnya C(0 , โ3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak ยฎ D(1 , โ4)
Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi
y = x3 โ 2x โ 3.
Latihan 6
- Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:
- y = x2 โ 4x โ 5 c. y = -2x2 + 5x โ 3
- y = x2 + 4x + 4 d. y = 2x2 โ 5x + 4
- Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!
- Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 โ px + 3 mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !
- Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:
- y = x2 โ 6x + 8 d. y = x2 โ 2
- y = (x โ 5)2 e. y = โx2 + 3
- y = 16 โ x2 f. y = x2 + 2x + 2
4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:
- melalui tiga titik yang berlainan.
- memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
- melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
- menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.
- a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (โ1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (โ1 , 0) ยฎ 0 = a(โ1)2 + b (โ1) + c
0 = a โ b + c โฆโฆโฆโฆโฆโฆ. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8) ยฎ 8 =a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c โฆโฆโฆโฆโฆโฆ. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ยฎ 6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c โฆโฆโฆโฆโฆ (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1) a โ b + c = 0 (2) a + b + c = 8 a โ b + c = 0
(2) a + b + c = 8 (3) 4a + 2b + c = 6 โ2 โ 4 + c = 0
โ2b = โ8 3a โ b = 2 c = 6
b = 4 โ 3a โ 4 = 2
a = โ2
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = โ2x2 + 4x + 6.
b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 โ q2) + b(p โ q)
b(p โ q) = โa(p2 โ q2)
= โa(p + q) (p โ q)
b = โ a(p + q)
Substitusikan b = โ a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0
ap2 + (โ a(p + q)) p + c = 0
ap2 โ ap2 โ pqa + c = 0
c = pqa
Untuk b = โ a(p + q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b x + c ร y = ax2 โ a(p + q)x + pqa
= a(x2 โ (p + q)x + pq)
= a(x โ p) (x โ q)
Jadi, y = a(x โ p) (x โ q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (โ5,0) dan (1,0), serta melalui titik (โ3, โ8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (โ5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x โ (โ5)) (x โ 1)
= a(x + 5) (x โ 1)
Grafik melalui titik (โ3, โ8), berarti
โ8 = a(โ3+5) (โ3 โ 1)
= โ8a
a = 1
Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x โ 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x โ 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x โ 5.
- c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x โ p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x โ 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 โ 1) + 3
0 = a + 3
a = โ3
Substitusikan a = โ3 pada y = a (x โ 1)2 + 3 maka diperoleh
y = โ3 (x โ 1)2 + 3
y = โ3 (x2 โ 2x + 1) + 3
y = โ3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = โ3x2 + 6x.
d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang โTitik potong grafik dengan sumbu-Xโ. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 โ 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x โ p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x โ 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 โ 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x โ 2)2 atau y = x2 โ 4x + 4.
Latihan 7
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (โ2, 12), (1, โ3), dan (5, 5) !
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, โ2), (5, 4), dan (1,-1 !
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, โ2)
- Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (โ1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !
- Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!
- Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (โ2, 0) dan melalui titik (0, โ1). Tentukan persamaan parabola!
- Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi โ3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik
(โ2, โ11). Tentukan fungsi kuadratnya!
- Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
- Grafik fungsi y = (p+3)2 โ 2(p โ 1)x + (2p โ 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!
Tidak ada komentar:
Posting Komentar