About me

SST BERISIK, CUMIL LAGI BELAJAR @syifafarahdhia_ @syifafarahdhia_ @syifafarahdhia_ WELCOME TO OUR FAMILY ZIGGY ZAGA

Jumat, 17 Mei 2019

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A.      Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ยน 0                   a, b dan c adalah bilangan real.
  1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)       memfaktorkan,
b)       melengkapkan kuadrat sempurna,
c)       menggunakan rumus.
  1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x โ€“ x1) (x โ€“ x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 โ€“ 4 x + 3 = 0
Jawab:    x2 โ€“ 4 x + 3 = 0
(x โ€“ 3) (x โ€“ 1) = 0
x โ€“ 3 = 0   atau    x โ€“ 1 = 0
x = 3   atau    x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 โ€“ 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Hasil gambar untuk math animation
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x โ€“ 2)2 = x โ€“ 2.
Jawab:         (x โ€“ 2)2 = x โ€“ 2
x2 โ€“ 4 x + 4 =  x โ€“ 2
x2 โ€“ 5 x + 6 = 0
(x โ€“ 3) (x โ€“ 2) = 0
x โ€“ 3 = 0   atau   x โ€“ 2 = 0
x = 3   atau          x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0

Jawab:    2 x2 + 7 x + 6 = 0
x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0
x = โ€“2   atau           x = โ€“ 1
Jadi, penyelesaiannya adalah  โ€“2 dan โ€“1.
  1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 โ€“ 6 x + 5 = 0.
Jawab:   x2 โ€“ 6 x + 5 = 0
x2 โ€“ 6 x + 9 โ€“ 4 = 0
x2 โ€“ 6 x + 9 = 4
(x โ€“ 3)2 = 4
x โ€“ 3 = 2  atau x โ€“ 3 = โ€“2
x = 5    atau     x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 โ€“ 8 x + 7 = 0.
Jawab:   2 x2 โ€“ 8 x + 7 = 0
x2 โ€“ 8 x + 8 โ€“ 1 = 0
x2 โ€“ 8 x + 8 = 1
2 (x2 โ€“ 4 x + 4) = 1
2 (x โ€“ 2)2 = 1
(x โ€“ 2)2 = ยฝ
x โ€“ 2 =    atau x โ€“ 2 = โ€“
x = 2 + ร–2   atau x = 2 โ€“ร–2
Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + ร–2   dan   2 โ€“ ร–2.
  1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x โ€“ 30 = 0.
Jawab:   x2 + 7x โ€“ 30 = 0
a = 1  ,  b = 7  ,  c = โ€“ 30
x = 3   atau   x = โ€“10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {โ€“10 , 3}.

Latihan 1

  1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
  2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
  3. Salah satu akar x2 โ€“ mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
  4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a โ€“ 1)x2 + (3a โ€“ 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
  5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar
  1. x2 โ€“ 3x + 2 = 0                                                                     f.   โ€“2x2 + 8x โ€“ 9 = 0
  2. 3x2 โ€“ 9x = 0                                                                         g.   โ€“6x2 + 10xร–3 โ€“ 9 = 0
  3. 6x2 โ€“ 13x + 6 = 0                                                                h.   x2 โ€“ 2xร–3 โ€“ 1 = 0
  4. 5p2 + 3p + 2 = 0                                                                  i.   x2 + x โ€“ 506 = 0
  5. 9x2 โ€“ 3x + 25 = 0                                                                j.   x2 โ€“ x + ร–2 = 2
  1. 2x โ€“ x(x + 3) = 0                                                              c.   (x โ€“ 3)2 + 2(x โ€“ 3) โ€“ 3 = 0
  2. (x โ€“ 3) (x + 2) โ€“ 2x2 + 12 = 0                                          d.
berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!
2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b2 โ€“ 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.
Apabila:
  1. D > 0  maka  ร–D  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
  2. D = 0  maka  ร–D = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
  3. D < 0  maka  ร–D  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
  1. x2 + 5 x + 2 = 0
  2. x2 โ€“ 10 x + 25 = 0
  3. x2 โ€“ 4 x + 2 = 0
Jawab :
  1. x2 + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2
D = b2 โ€“ 4ac = 52 โ€“ 4 . 1 . 2 = 25 โ€“ 8 = 17
Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.
  1. x2 โ€“ 10 x + 25 = 0
a = 1  , b = -10  ,  c = 25
D = b2 โ€“ 4ac = (-10)2 โ€“ 4 . 1 . 25 = 100 โ€“ 100 = 0
Karena  D = 0, maka persamaan x2 โ€“ 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.
  1. x2 โ€“ 4 x + 2 = 0
a = 3  ,  b = โ€“4  ,  c = 2
D = b2 โ€“ 4ac = (-4)2 โ€“ 4 . 3 . 2 = 16 โ€“ 24 = โ€“ 8
Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x2 โ€“ 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

Latihan 2

  1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
  1. x2 + 6x + 6 = 0
  2. x2 + 2x + 1 = 0
  3. 2x2 + 5x + 5 = 0
  4. โ€“2x2 โ€“ 2x โ€“ 1 = 0
  5. 6t2 โ€“ 5t + 1 = 0
  6. 4c2 โ€“ 4c + 3 = 0
  1. Tentukan nilai  p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!
  1. 4x2 + 8px + 1 = 0
  2. 4x2 โ€“ 4px + (4p โ€“ 3) = 0
  3. px2 โ€“ 3px + (2p + 1) = 0
  1. Persamaan  x2 โ€“ 4px โ€“ (p โ€“ 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
  2. Buktikan bahwa persamaan  x2 โ€“ px โ€“ (p + 1) = 0  mempunyai dua akar real berlainan!
  3. Buktikan bahwa    mempunyai dua akar real berlainan!
3.      Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
  1. Persamaan kuadrat   ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 + x = 0
Karena  x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka
Jadi,  ,   .
Contoh:
Akar-akar x2 โ€“ 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
  1. x1 + x2 d.
  2. x1.x2 e.   x13 + x23
  3. x12 + x22
Jawab:          x2 โ€“ 3 x + 4 = 0  ยฎ  a = 1  ,  b = โ€“3  , c = 4
a.   x1 + x2 = 3
b.   x1.x2 = 4
c.   x12 + x22 = x12 + x22 +  2 x1.x2 โ€“ 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 โ€“ 2 x1 x2 = 2 (-3)2 โ€“ 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
x13 + 3 x1 x2 (x1 +  x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 โ€“ 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 โ€“ 3 . 4 (3)
= 27 โ€“ 36 = โ€“9

Latihan 3

  1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
  2. Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
  3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 โ€“ (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
  4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 โ€“ (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
  5. Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.
  1. x2 โ€“ 5x + 7 = 0                                                                     d.   bx2 + ax + c = 0
  2. 2x2 โ€“ 7 = 0                                                                           e.
  3. 4x2 โ€“ 3x = 0                                                                         f.   (x โ€“ p)2 + (x โ€“ q)2 = p2 + q2
  1. p2 + q2
  2. (p + 2) (q + 2)
  3. (p โ€“ 2q) (q โ€“ 2p)
Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui xi2 โ€“ x1x2 + x22 = 5.
4.     Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v  menggunakan perkalian faktor,
REPORT THIS AD

v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
  1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x โ€“ x1) (x โ€“ x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x โ€“ x1) (x โ€“ x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab:   (x โ€“ x1) (x โ€“ x2) = 0
(x โ€“ 3) (x โ€“ (-2)) = 0
(x โ€“ 3) (x + 2) = 0
x2 โ€“ 3 x + 2 x โ€“ 6 = 0
x2 โ€“ x โ€“ 6 = 0.
Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya   dan  !
Jawab:   (x โ€“ ) (x โ€“ ) = 0
= 0
x2 โ€“ 2 x โ€“ 3 x + 1 = 0
x2 โ€“ 5 x + 1 = 0
  1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2 = โ€“ dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 โ€“ (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya โ€“2 dan โ€“3.
Jawab:   x1 + x2 = -2 โ€“ 3 = โ€“ 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 โ€“ (โ€“5)x + 6 = 0   atau   x2 + 5x + 6 = 0.
  1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 โ€“ 2x + 3 = 0.
Jawab:

Misal akar-akar persamaan x2 โ€“ 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2.  ยฎ  x1 + x2 =  2  ,  x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan  q =  x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)                                 p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
x1 + x2 + 6                                                  = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 โ€“ (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 โ€“ 8x + 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 โ€“ 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2 โ€“ 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan  b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 .  = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 โ€“ (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah    x2 โ€“ 3x + 2 = 0..

Latihan 4

  1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
  2. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah  dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
  3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 โ€“ 4x โ€“ 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
  4. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
  5. Diketahui persamaan 2x2 โ€“ 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
  1. 1 dan 3
  2. 2 dan -4
  3. -1 dan -5
  4. โ€“ร–2  dan  2ร–2
  5. (p + q)  dan  (p โ€“ q)
  1. (a + 1)  dan  (b + 1)
  2. (aโ€“ 3)  dan  (bโ€“ 3)
  1. 4a dan 4b
  2. โ€“a  dan  โ€“b
  3. (2a + 1)  dan  (2b + 1)
  4. a2 dan  b2
  1. berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
  2. kebalikan akar persamaan yang diketahui.
B.    Fungsi Kuadrat
  1. 1. Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan ab, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 โ€“ 6x โ€“ 7
Ditanyakan:
  1. nilai pembuat nol fungsi f
  2. nilai f untuk x = 0 , x = โ€“2
Jawab:
  1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 โ€“ 6 x โ€“ 7 = 0
(x โ€“ 7) (x + 1) = 0
x = 7  atau  x = โ€“1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan โ€“1
  1. Untuk  x = 0   maka f(0) = โ€“7
x = โ€“2  maka f(โ€“2) = (โ€“2)2 โ€“ 6 (โ€“2) โ€“ 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p โ€“ 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya = 0.
D = (p โ€“ 1)2 โ€“ 4 . 3 . 3 = 0
p2 โ€“ 2p โ€“ 35 = 0
(p โ€“ 7) (p + 5) = 0
p = 7   atau   p = โ€“5
Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka = 7 atau p = โ€“5.
Periksalah jawaban itu.
  1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)       f(x) = x2 โ€“ 2x โ€“ 3
x2 โ€“ 2x + 1 โ€“ 4

=(x โ€“ 1)2 โ€“ 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x โ€“ 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x โ€“ 1)2 โ€“ 4mempunyai nilai terkecil 0 โ€“ 4 = โ€“4.
Jadi, f(x) = x2 โ€“ 2x โ€“ 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) โ€“4 untuk x = 1.
2)       f(x) = โ€“x2 + 4x + 5
= โ€“x2 + 4x โ€“ 4 + 9
= โ€“(x2 โ€“ 4x + 4) + 9
= โ€“(x โ€“ 2)2 + 9
Nilai terbesar dari โ€“ (x โ€“ 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari โ€“ (x โ€“ 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = โ€“(x โ€“ 2)2 + 9 atau f(x) = โ€“x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7
Nilai minimum fungsi = 5

Latihan 5

  1. Diketahui: f(x) = x2 โ€“ 4x โ€“ 6
Ditanya:        a. nilai pembuat nol fungsi
b. nilai f(x) , jika x = 0
c. f(2) , f(โ€“1) , f(p)
  1. Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:
  2. Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 โ€“ px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
  3. Nilai maksimum f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
  4. Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
  5. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum โ€“2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
  1. f(x) = x2 + 4x + 4
  2. f(x) = 2x2 โ€“ 4x + 3
  3. f(x) = โ€“3 x2 + 12x โ€“ 8
  4. f(x) = โ€“7 + 12x โ€“ 3x2
  5. f(x) = (2x + 1) (x =- 3)
  6. f(x) = (2x โ€“ 1)2
  1. 3. Grafik Fungsi Kuadrat


Grafik fungsi kuadrat  f : x ยฎ y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.
Gambar 7.1                                                           Gambar 7.2
Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2
  • Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
  • Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
  • Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
  • Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:
1)       Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka
a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D(diskriminan).
D > 0 ยฎ  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0)  dan  (x2 , 0).
D = 0 ยฎ   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ยฎ  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2)       Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).
3)       Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:
4)       Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
  • Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.
  • Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
  • Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.
Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x2 โ€“ 2x โ€“ 3  untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x2 โ€“ 2x โ€“ 3 = 0
(x โ€“ 3) (x + 1) = 0
x = 3   dan  x = โ€“1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(โ€“1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 โ€“ 0 โ€“ 3 = โ€“ 3

Koordinat titik potongnya C(0 , โ€“3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak  ยฎ D(1 , โ€“4)
Hubungkan titik-titik ABC, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi
y = x3 โ€“ 2x โ€“ 3.

Latihan 6

  1. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:
  1. y = x2 โ€“ 4x โ€“ 5                                                                  c.   y = -2x2 + 5x โ€“ 3
  2. y = x2 + 4x + 4                                                                  d.   y = 2x2 โ€“ 5x + 4
  1. Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!
  1. Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 โ€“ px + 3  mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !
  1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:
  1. y = x2 โ€“ 6x + 8                                                                  d.   y = x2 โ€“ 2
  2. y = (x โ€“ 5)e.   y = โ€“x2 + 3
  3. y = 16 โ€“ x2 f.   y = x2 + 2x + 2
4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:
  1. melalui tiga titik yang berlainan.
  2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
  3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
  4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.
  1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (โ€“1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah  y = a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (โ€“1 , 0)  ยฎ  0 = a(โ€“1)2 + b (โ€“1) + c
0 = a โ€“ b + โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8)  ยฎ    8 =a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ยฎ  6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai ab, dan c dengan cara eliminasi.
(1)   a โ€“ b + c = 0 (2)    a +   b + c = 8                               a โ€“ b + c = 0

(2)   a + b + c = 8                                 (3)   4a + 2b + c = 6                            โ€“2 โ€“ 4 + c = 0
โ€“2b = โ€“8                                       3a โ€“   b = 2                                            c = 6
b = 4                                               โ€“ 3a โ€“ 4 = 2
a = โ€“2
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = โ€“2x2 + 4x + 6.
b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga  0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 โ€“ q2) + b(p โ€“ q)
b(p โ€“ q) = โ€“a(p2 โ€“ q2)
= โ€“a(p + q) (p โ€“ q)
b = โ€“ a(p + q)
Substitusikan b = โ€“ a(p + q)   ke   ap2 + bp + c = 0
ap2 (โ€“ a(p + q)) p + c = 0
ap2 โ€“ ap2 โ€“ pqa + c = 0
c = pqa
Untuk  b = โ€“ a(p + q)  dan  c = pqa maka
y = a x2 + b x + c ร›  y = ax2 โ€“ a(p + q)x + pqa
= a(x2 โ€“ (p + q)x + pq)
a(x โ€“ p) (x โ€“ q)
Jadi, y = a(x โ€“ p) (x โ€“ q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (โ€“5,0) dan (1,0), serta melalui titik (โ€“3, โ€“8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (โ€“5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x โ€“ (โ€“5)) (x โ€“ 1)
a(x + 5) (x โ€“ 1)
Grafik melalui titik (โ€“3, โ€“8), berarti
โ€“8 = a(โ€“3+5) (โ€“3  โ€“ 1)
=  โ€“8a

a = 1
Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x โ€“ 1) sehingga diperoleh   y = x2 + 4x โ€“ 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x โ€“ 5.
  1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (q) adalah  y = a (x โ€“ p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x โ€“ 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 โ€“ 1) + 3
0 = a + 3
a = โ€“3
Substitusikan a = โ€“3 pada   y = a (x โ€“ 1)2 + 3 maka diperoleh
y = โ€“3 (x โ€“ 1)2 + 3
y = โ€“3 (x2 โ€“ 2x + 1) + 3
y = โ€“3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = โ€“3x2 + 6x.
d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang โ€œTitik potong grafik dengan sumbu-Xโ€. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 โ€“ 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x โ€“ p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x โ€“ 2)2

Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 โ€“ 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x โ€“ 2)2 atau  y = x2 โ€“ 4x + 4.

Latihan 7

  1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (โ€“2, 12), (1, โ€“3), dan (5, 5) !
  1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, โ€“2), (5, 4), dan (1,-1 !
  1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !
  1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, โ€“2)
  1. Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (โ€“1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !
  1. Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!
  1. Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (โ€“2, 0) dan melalui titik (0, โ€“1). Tentukan persamaan parabola!
  1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi โ€“3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik
(โ€“2, โ€“11). Tentukan fungsi kuadratnya!
  1. Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
  1. Grafik fungsi y = (p+3)2 โ€“ 2(p โ€“ 1)x + (2p โ€“ 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!

Tidak ada komentar:

Posting Komentar