BESARAN VEKTOR DAN SKALAR

Definisi

Pengertian vektor dan skalar, dalam fisika besaran dapat dikelompokkan berdasarkan komponen arahnya. Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Besaran Skalar adalah besaran yang tidak memiliki arah.

Besaran Vektor & Skalar

1. Besaran Vektor

Besaran vektor adalah besaran fisika yang memiliki nilai dan arah. Dalam hal ini nilai dan arah menjadi informasi yang saling melengkapi. Contoh besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, gaya, momentum, medan listrik dll.

Dalam menyatakan besaran vektor, nilai vektor harus diikuti dengan arahnya. Contoh kecepatan mobil 20 km/jam ke timur, mobil berpindah sejauh 400 meter ke kanan, Andi menarik mobil-mobilan dengan gaya 2 N ke kanan dll.

Serta penulisannya pun harus dibedakan dengan besaran bukan vektor. Biasanya dituliska dengan huruf cetak tebal, cetak miring atau huruf kapital. Contoh cara penulisan besaran vektor:

• Kecepatan disimbolkan dengan huruf v$v$
• Gaya disimbolkan dengan huruf F$F$
• Momentum disimbolkan dengan huruf p$p$
• dll

Besaran vektor digambarkan dengan anak panah lurus. Arah panah menunjukkan arah besarannya. Panjang garis anak panah merepresentasikan besar vektor.

Misalkan kita menggambarkan vektor kecepatan 2 m/s dengan garis 1 cm, maka untuk kecepatan sebesar 10 m/s harus digambarkan dengan garis sepanjang 5 cm dst. Berikut beberapa aturan berkaitan dengan rumus besaran vektor dan satuannya.

(a) Menggambar Besaran Vektor

Digambarkan dengan anak panah dengan panjang yang harus proporsional.

(b) Komponen Vektor dan Vektor Satuan

Suatu vektor dapat dinyatakan dalam bentuk komponen-komponennya. Misalkan sebuah vektor gaya F$F$membentuk sudut α$\alpha$ terhadap sumbu x$x$ seperti gambar berikut.

Vektor F$F$ dapat diuraikan ke sumbu x$x$ dan sumbu y$y$ sebagai Fx$F_x$ dan Fy$F_y$. Fx$F_x$ dan Fy$F_y$ disebut sebagai komponen vektor F$F$ disumbu x$x$ dan y.$y.$ Besar komponen vektor di sumbu x$x$ dan y$y$
adalah

Fx=F cos α$F_x=F\text{ cos }\alpha$

Fy=F sin α$F_y=F\text{ sin }\alpha$

Jika besar komponen vektor di sumbu x$x$ adalah Fx${\text{F}}_x$ dan besar komponen vektor di sumbu y$y$ adalah Fy${\text{F}}_y$, maka vektor F$F$ dapat dinyatakan dengan F=Fxi+Fyj,$F={\text{F}}_{x}i+{\text{F}}_{y}j,$ dengan i$i$ dan j$j$ adalah vektor satuan.

Vektor satuan (unit vektor) merupakan suatu vektor yang besarnya sama dengan 1 (satu) dan tidak mempunyai satuan serta berfungsi untuk menunjukan suatu arah dalam ruang.

Sebuah vektor yang terletak di dalam ruang tiga dimensi memiliki komponen-komponen terhadap sumbu x,$x,$sumbu y$y$ dan sumbu z$z$, sehingga penulisannya harus menyertakan tiga vektor satuan i,j dan k$i,j\text{ dan }k$. Misalkan vektor F$F$ berada di ruang tiga dimensi maka vektor F$F$ dapat dinyatakan sebagai F=Fxi+Fyj+Fzk.$F={\text{F}}_{x}i+{\text{F}}_{y}j+{\text{F}}_{z}k.$

(c) Menjumlahkan dan Mengurangkan Vektor

Ada dua metode untuk menjumlahkan vektor, yaitu metode grafis (geometris) dan analisis. Metode grafis adalah penjumlahan vektor dengan menyatakan vektor-vektor dalam sebuah diagram. Panjang anak panah disesuaikan dengan besar vektor (artinya harus menggunakan skala dalam pengambarannya), dan arah vektor ditunjukkan oleh arah ujungnya (kepalanya).

Metode grafis dapat dilakukan dengan metode jajar genjang, segitiga dan metode poligon. Jika vektor A$A$,B$B$ dan C$C$dengan besar tertentu maka penjumlahan dan pengurangan vektor secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut.

Penjumlahan dua vektor dalam dua dimensi, metoda geometris cukup memadai. Tetapi untuk kasus penjumlahan tiga vektor ataupun penjumlahan vektor dalam tiga dimensi seringkali kurang menguntungkan.

Cara lain yang dapat digunakan untuk menjumlahkan vektor adalah metoda analitik. Dengan metoda ini, vektor-vektor yang akan dijumlahkan, masing-masing diuraikan dalam komponen-komponen vektor arahnya (lihat kembali “Komponen Vektor”).

Pada intinya cara menjumlahkan vektor adalah sama dengan menjumlahkan bilangan bukan vektor. Perbedaannya adalah penjumlahan aljabar pada vektor hanya boleh dilakukan jika dua vektor tersebut adalah vektor yang memiliki dimensi yang sama dan bekerja pada sumbu yang sama . Vektor kecepatan tidak boleh dijumlahkan dengan vektor gaya, vektor gaya hanya boleh dijumlahkan dengan vektor gaya.

Misalkan vektor A dan B adalah vektor berdimensi sama dengan A=x1i+y1j+z1k$A=x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k$ dan B=x2i+y2j+z2k$B=x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k$, maka A±B=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k$A\pm B=(x_1\pm x_2)i+(y_1\pm y_2)j+(z_1\pm z_2)k$.

Hasil penjumlahan ini masih dalam komponen-komponen vektor, untuk menentukan besar vektor hasil penjumlahan digunakan persamaan |A±B|=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√$|\text{A}\pm \text{B}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ dengan x=x1±x2;$x=x_1\pm x_2;$ y=y1±y2$y=y_1\pm y_2$ dan z=z1±z2.$z=z_1\pm z_2.$

(d) Perkalian Vektor

1. Perkalian dengan konstanta
   Jika A=x1i+y1j+z1k$A=x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k$ maka b×A=bx1i+by1j+bz1k$b\times A=b{x}_{1}i+b{y}_{1}j+b{z}_{1}k$.
2. Perkalian dengan vektor
   1. Perkalian dot
      Perkalian dot adalah perkalian vektor yang menghasilkan besaran skalar, sehingga sering disebut sebagai “dot product”. Jika A$A$ dan B$B$ adalah vektor yang membentuk sudut θ$\theta$ maka, A.B=AB cosθ$A.B=\text{AB cos}\theta$.
   2. Perkalian cross
      Jika A$A$ dan B$B$ adalah vektor yang membentuk sudut θ$\theta$ maka, A×B=AB sinθ$A\times B=\text{AB sin}\theta$. Hasil dari perkalian cross adalah vektor yang tegak lurus terhadap vektor-vektor yang dikalikan. Untuk lebih jelasnya bisa klik di link berikut (Video 1 dan 2).

2. Besaran Skalar

Besaran yang memiliki besar, tetapi tidak memiliki arah disebut besaran skalar. Contohnya waktu, volume, massa jenis dan suhu.

Contoh Soal & Pembahasan

1. Berikut ini yang termasuk besaran vektor adalah…..
   1. massa, waktu, panjang dan suhu
   2. jarak, kelajuan, kecepatan dan suhu
   3. perpindahan, kecepatan, gaya dan momentum
   4. momentum, energi, medan listrik dan jarak
   5. jarak, gaya magnet, energi dan daya

Jawaban: C

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Maka jawabannya adalah perpindahan, kecepatan, gaya dan momentum.

2. Besar gaya Lorentz dari muatan sebesar q$q$ yang bergerak di medan magnet B$B$ dengan kecepatan v$v$ adalah sebesar F=q(v×B)$F=q\left(v\times B\right)$. Jika partikel bermuatan 2$2$ mC bergerak di medan B=2i+5j$B=2i+5j$ T dengan kecepatan v=5i$v=5i$ m/s, maka besar dan arah gaya Lorentznya adalah….
   1. 35k$35k$ mN
   2. 50k$50k$ mN
   3. 70k$70k$ mN
   4. 80k$80k$ mN
   5. 90k$90k$ mN

Jawaban: B

Berdasarkan persamaan di gaya lorentz maka

F=q(v×B)=2×10−3(5i×(2i+5j))=50×10−3kN=50k mN$\begin{array}{rl}F& =q\left(v\times B\right)\\ & =2\times {10}^{-3}\left(5i\times \left(2i+5j\right)\right)\\ & =50\times {10}^{-3}k\text{N}\\ & =50k\text{ mN}\end{array}$

3. Vektor A memiliki besar A=2i+5j+2k$A=2i+5j+2k$ dan vektor B memiliki besar B=4i+bi+1k$B=4i+bi+1k$, jika A⋅B=$A\cdot B=$20, maka besar b$b$ adalah….
   1. 1
   2. 2
   3. 3
   4. 4
   5. 5

Jawaban: B

A⋅B2010b=(2i+5j+2k)⋅(4i+bi+1k)=8+5b+2=5b=2